4. गतिमान आवेश और चुम्बकत्व (Moving Charges and Magnetism)

 

अध्याय 4

गतिमान आवेश और चुम्बकत्व

जब कोई विद्युत आवेश स्थिर अवस्था में होता है, तब उसके चारों ओर केवल विद्युत क्षेत्र पाया जाता है।

परन्तु जब वही आवेश गतिमान हो जाता है अथवा किसी चालक में विद्युत धारा प्रवाहित होती है, तब उसके चारों ओर चुम्बकीय क्षेत्र भी उत्पन्न होता है।

अतः गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र के साथ-साथ चुम्बकीय क्षेत्र भी उत्पन्न करता है।

यही इस अध्याय का मूल आधार है।

When an electric charge is at rest, only an electric field exists around it.

But when the same charge starts moving or an electric current flows through a conductor, a magnetic field is also produced around it.

So, a moving charge produces both electric as well as magnetic fields.

This is the basic foundation of this chapter.

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विद्युत धारा द्वारा चुम्बकीय क्षेत्र का उत्पन्न होना

जब किसी सीधे चालक में धारा प्रवाहित की जाती है तो चालक के चारों ओर वृत्ताकार चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएँ बनती हैं।
इनकी दिशा दाएँ हाथ के अंगूठा नियम से ज्ञात की जाती है, अर्थात् अंगूठे की दिशा धारा की दिशा तथा मुड़ी हुई उँगलियों की दिशा क्षेत्र की दिशा बताती है।

चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता धारा के समानुपाती तथा चालक से दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

Magnetic Field Produced by Electric Current

When current flows through a straight conductor, circular magnetic field lines are formed around it.
Their direction is given by the Right-Hand Thumb Rule — the thumb shows the direction of current and the curled fingers show the direction of the magnetic field.

The magnetic field strength is
• directly proportional to current
• inversely proportional to the distance from the conductor

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चुम्बकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर बल

यदि कोई आवेश वेग v से चुम्बकीय क्षेत्र B में गति करता है, तो उस पर लगने वाला बल

F = q v B sinθ

यहाँ θ वेग तथा चुम्बकीय क्षेत्र के बीच बना कोण है।

मुख्य तथ्य
• यदि कोण शून्य हो → बल शून्य
• यदि कोण नब्बे डिग्री हो → बल अधिकतम
• बल सदैव वेग के लम्बवत होता है

इसी कारण चुम्बकीय बल कार्य नहीं करता, केवल दिशा बदलता है।

Force on a Moving Charge in Magnetic Field

If a charge moves with velocity v in a magnetic field B, the force on it is

$$F=qvB\sin \theta$$

where θ is the angle between velocity and magnetic field.

Key facts

• If θ = 0 → Force = 0
• If θ = 90° → Force is maximum
• Force is always perpendicular to velocity

Therefore, the magnetic force does no work — it only changes direction of motion.

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धारा वहन करने वाले सीधे चालक पर चुम्बकीय बल

यदि लंबाई L का चालक, जिसमें धारा I बह रही है, चुम्बकीय क्षेत्र B में रखा हो तो उस पर बल लगता है।

F = I L B sinθ

यदि चालक क्षेत्र के लम्बवत है, तो
F = I L B

उस बल के कारण चालक या तो ऊपर उठ सकता है या नीचे धकेला जा सकता है।

Force on a Current-Carrying Conductor in Magnetic Field

If a conductor of length L carrying current I is placed in a magnetic field B, the force on it is

$$F = I L B \sin\theta$$

If the conductor is perpendicular to the field:

$$F = I L B$$

Because of this force, the conductor may move upward or downward.

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दो समानान्तर धारा वहन करने वाले चालकों के बीच बल

दो लंबे समानान्तर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल

F / L = μ₀ I₁ I₂ / 2πd

जहाँ d चालकों के बीच दूरी है।

• यदि दोनों में धारा एक ही दिशा में हो → आकर्षण
• यदि धारा विपरीत दिशा में हो → विकर्षण

इसी सिद्धान्त के आधार पर धारा का मात्रक परिभाषित किया गया है।

Force Between Two Parallel Current-Carrying Conductors

Force per unit length between two long parallel conductors is

$$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

where d is the distance between them.

• Same direction currents → attract
• Opposite direction currents → repel

This principle is used to define the unit of current.

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चुम्बकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश की वृत्तीय गति

यदि आवेश का वेग चुम्बकीय क्षेत्र के लम्बवत हो तो चुम्बकीय बल केन्द्राभिमुख बल की तरह कार्य करता है।

q v B = m v² / r

अतः त्रिज्या

r = m v / q B

आवर्तकाल

T = 2πm / qB

यह बहुत महत्वपूर्ण परिणाम है कि आवर्तकाल वेग पर निर्भर नहीं करता।

Circular Motion of a Charged Particle in Magnetic Field

If the velocity of a charge is perpendicular to the magnetic field, the magnetic force acts as a centripetal force.

$$q v B = \frac{m v^2}{r}$$So, radius$$r=\frac{mv}{q\mathrm{B}}$$

Time period

Very important — time period does not depend on velocity.

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सर्पिल गति

यदि वेग का एक भाग क्षेत्र के समानान्तर तथा दूसरा भाग लम्बवत हो तो, एक भाग कण को आगे बढ़ाता रहता है और दूसरा भाग उसे वृत्तीय गति देता है। इस प्रकार कुल पथ सर्पिल बनता है।

Helical Motion

If one component of velocity is parallel and the other is perpendicular to the field,
one part moves the particle forward while the other makes it move in a circle.
Thus, the path becomes a spiral (helical path).

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साइक्लोट्रॉन

यह एक यंत्र है जिसमें विद्युत तथा चुम्बकीय क्षेत्र की सहायता से आवेशित कणों को उच्च ऊर्जा प्रदान की जाती है।

मुख्य भाग
• दो अर्द्धवृत्ताकार खोखले पात्र (डी)
• उनके बीच दोलनशील विभव
• लम्बवत चुम्बकीय क्षेत्र

कण बार-बार डी के अन्दर घूमता है और प्रत्येक बार सीमा पर ऊर्जा प्राप्त करता है, जिससे त्रिज्या बढ़ती जाती है।

अधिकतम गतिज ऊर्जा

K = q² B² R² / 2m

यह यंत्र मुख्यतः हल्के धन आवेशित कणों को तीव्र करने हेतु प्रयुक्त होता है।

Cyclotron

It is a device that accelerates charged particles to high energy using electric and magnetic fields.

Main parts

• Two hollow semicircular chambers (Dees)
• Oscillating potential between them
• Perpendicular magnetic field

The particle keeps rotating inside the Dees and gains energy at each crossing, so the radius keeps increasing.

Maximum kinetic energy

$$K=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2\mathrm{m}}$$

It is mainly used for accelerating light positively charged particles.

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बायोट-सावार्ट नियम

किसी सूक्ष्म धारा तत्व के कारण किसी बिन्दु पर चुम्बकीय क्षेत्र की तीव्रता

$$dB=\frac{{\mu }_{0}Idl\sin \theta }{4\pi r^2}$$

यह नियम धारा के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र की गणना के लिए मूलभूत नियम है।

Biot–Savart Law

Magnetic field due to a small current element is

$$dB=\frac{{\mu }_{0}Idl\sin \theta }{4\pi r^{\mathrm{2}}}$$

This is a fundamental law to calculate magnetic field due to current.

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सीधे लंबे चालक के कारण चुम्बकीय क्षेत्र

B = μ₀ I / 2πr

स्पष्ट है कि दूरी बढ़ने पर क्षेत्र घटता है।

Magnetic Field Due to a Long Straight Conductor

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi \mathrm{r}}$$

So, magnetic field decreases with distance.

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वृत्ताकार कुंडली के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र

B = μ₀ I / 2R

यदि N चक्कर हों तो

B = μ₀ N I / 2R

Magnetic Field at the Centre of a Circular Coil

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\mathrm{R}}$$

If there are N turns:

$$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\mathrm{R}}$$

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ऐम्पियर का परिपथीय नियम

किसी बन्द पथ के चारों ओर चुम्बकीय क्षेत्र और लम्बाई तत्व के गुणनफल का समाकल

∮ B dl = μ₀ I

यह नियम सममित परिस्थितियों में अत्यन्त उपयोगी होता है।

Ampere’s Circuital Law

The line integral of magnetic field over a closed path is

$$\oint Bdl={\mu }_{0}I$$

This law is very useful in symmetric situations.

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सोलेनॉइड

सोलेनॉइड एक लम्बा बेलनाकार कुंडल होता है जिसमें अनेक घुमाव समान रूप से लपेटे जाते हैं।

इसके भीतर चुम्बकीय क्षेत्र लगभग समान होता है।

B = μ₀ n I

जहाँ n = प्रति मीटर घुमावों की संख्या

सोलेनॉइड के बाहर का क्षेत्र अत्यन्त क्षीण होता है।

Solenoid

A solenoid is a long cylindrical coil of many closely spaced turns.
Inside a solenoid, the magnetic field is almost uniform.

$$B={\mu }_{0}nI$$

where n = number of turns per metre.

The field outside a solenoid is very weak.

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टोरोइड

सोलेनॉइड को वलयाकार मोड़ देने पर टोरोइड बनता है।

इसमें चुम्बकीय क्षेत्र केवल वलय के अन्दर पाया जाता है, बाहर नहीं।

B = μ₀ N I / 2πr

Toroid

A toroid is obtained by bending a solenoid into a circular ring.

Magnetic field exists only inside the ring — not outside.

$$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$$

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चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण

किसी धारा वहन करने वाली समतली कुंडली का चुम्बकीय आघूर्ण

M = n I A

यह सदिश राशि है और कुंडली के लम्बवत दिशा में होती है।

Magnetic Dipole Moment

Magnetic moment of a current-carrying planar coil is

$$M=nIA$$

It is a vector quantity and is perpendicular to the plane of the coil.

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चुम्बकीय क्षेत्र में कुंडली पर आघूर्ण

τ = n I A B sinθ

जब कुंडली का समतल क्षेत्र के समानान्तर होता है तब आघूर्ण अधिकतम होता है।
जब कुंडली का समतल क्षेत्र के लम्बवत होता है तब आघूर्ण शून्य होता है।

Torque on a Current Loop in Magnetic Field

$$\tau =nIAB\sin \theta$$

• Maximum torque when plane of coil is parallel to field
• Zero torque when plane is perpendicular to field

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मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर

यह सूक्ष्म धारा मापने तथा पहचानने का यंत्र है।

मुख्य सिद्धांत
धारा वहन करने वाली कुंडली पर चुम्बकीय क्षेत्र में आघूर्ण लगता है।

τ = n I A B

विचलन
θ = n I A B / k

अर्थात् विचलन धारा के समानुपाती होता है।

Moving-Coil Galvanometer

It is an instrument to detect and measure small currents.

Principle
A current-carrying coil in a magnetic field experiences torque.

$$\tau =nIAB$$

Deflection

$$\theta =\frac{nIAB}{\mathrm{k}}$$

Thus, deflection is directly proportional to current.

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गैल्वेनोमीटर से ऐमीटर का निर्माण

गैल्वेनोमीटर के समानान्तर छोटा प्रतिरोध (शंट) जोड़ते हैं ताकि अधिक धारा उसमें चली जाए।

S = G Iₙ / (I − Iₙ)

इससे यंत्र अधिक धारा मापने योग्य बन जाता है।

Conversion of Galvanometer into Ammeter

A small resistance called shunt is connected in parallel with the galvanometer so that most of the current passes through it.

$$S=\frac{G I_g}{I-I_g}$$Thus the instrument can measure large currents.

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गैल्वेनोमीटर से वोल्टमीटर का निर्माण

गैल्वेनोमीटर के क्रम में बड़ा प्रतिरोध जोड़ते हैं ताकि उसमें बहने वाली धारा बहुत कम हो जाए।

R = V / Iₙ − G

इस प्रकार यह विभवांतर मापने लगता है।

Conversion of Galvanometer into Voltmeter

A large resistance is connected in series with the galvanometer so that only a small current flows through it.

$$R=\frac{V}{I_g}-G$$

Thus, it starts measuring potential difference.

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महत्वपूर्ण मुख्य बिन्दु

• स्थिर आवेश पर चुम्बकीय बल नहीं लगता
• चुम्बकीय बल सदैव वेग के लम्बवत होता है
• चुम्बकीय बल कार्य नहीं करता
• चुम्बकीय क्षेत्र सदिश राशि है
• सोलेनॉइड के भीतर क्षेत्र समान होता है
• दो समान दिशा की धाराएँ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं

Important Key Points

• A stationary charge experiences no magnetic force
• Magnetic force is always perpendicular to velocity
• Magnetic force does no work
• Magnetic field is a vector quantity
• Field inside a solenoid is uniform
• Two currents in the same direction attract each other