स्थिर विद्युत विभव और विभवान्तर

(Electrostatic Potential & Potential Difference)

विद्युत विभव

किसी बिन्दु पर विद्युत विभव वह कार्य है जो
अनन्त से उस बिन्दु तक एक इकाई धनात्मक आवेश को धीरे-धीरे (विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध) लाने में करना पड़ता है।

सूत्र
V = W / q

जहाँ
V = विद्युत विभव
W = किया गया कार्य
q = आवेश

विभव एक अदिश राशि है।
SI मात्रक = Volt (V)
1 Volt = 1 Joule / 1 Coulomb

Electric Potential

The electric potential at a point is the work done in bringing a unit positive charge slowly from infinity to that point against the electric field.

Formula:
V = W / q

Where:
V = Electric potential
W = Work done
q = Charge

Electric potential is a scalar quantity.
SI unit = Volt (V)
1 Volt = 1 Joule / 1 Coulomb

विभवान्तर (Potential Difference)

दो बिन्दुओं A और B के बीच विभवान्तर वह कार्य है
जो एक इकाई धनात्मक आवेश को A से B तक ले जाने में करना पड़े।

VAB = VA – VB = WAB / q

विभवान्तर ही बैटरी या सेल द्वारा प्रदान किया जाता है।

Potential Difference

The potential difference between two points A and B is the work done in moving a unit positive charge from A to B.

VAB = VA − VB = WAB / q

Potential difference is what is provided by a battery or cell.

विद्युत क्षेत्र से विभव ज्ञात करना

यदि विद्युत क्षेत्र E ज्ञात हो, तो बहुत छोटे विस्थापन dr पर विभव का परिवर्तन

dV = − E · dr

और कुल विभव

V = − ∫ E · dr

ऋण चिह्न बताता है कि
विभव घटने की दिशा ही विद्युत क्षेत्र की दिशा होती है।

Finding Potential from Electric Field

If the electric field E is known, the small change in potential for a small displacement dr is:

dV = − E · dr

The total potential:

V = − ∫ E · dr

The negative sign indicates that the potential decreases in the direction of the electric field.

बिंदु आवेश के कारण विद्युत विभव

यदि Q बिंदु आवेश से दूरी r पर कोई बिन्दु हो, तो वहाँ विभव

V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)

विभव की दिशा नहीं होती क्योंकि यह अदिश है।

Potential due to a Point Charge

For a point charge Q, at a distance r from the charge, the potential is:

V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)

The potential is a scalar quantity, so it does not have direction.

अनेक आवेशों के कारण विद्युत विभव

विभव का साधारण योग (अदिश योग) किया जाता है:

V = V₁ + V₂ + V₃ + …

Potential due to a System of Charges

The potential due to multiple charges is the algebraic sum of the potentials due to individual charges:

V = V₁ + V₂ + V₃ + …

विद्युत द्विध्रुव के कारण विभव

यदि द्विध्रुव आघूर्ण p है और किसी बिंदु P की दूरी r तथा कोण θ हो, तो विभव

V = (1 / 4πε₀) × (p cosθ / r²)

यहाँ p = q × 2l

Potential due to an Electric Dipole

For a dipole with dipole moment p at a point P at distance r and angle θ:

V = (1 / 4πε₀) × (p cosθ / r²)

Where p = q × 2l

समविभव पृष्ठ (Equipotential Surface)

परिभाषा

वे पृष्ठ जिनके हर बिन्दु पर विद्युत विभव समान होता है, समविभव पृष्ठ कहलाते हैं।

मुख्य गुणधर्म

समविभव पृष्ठों पर चलने में कोई कार्य नहीं होता।
W = 0
विद्युत क्षेत्र हमेशा समविभव पृष्ठ पर लंबवत होता है।
जहाँ विद्युत क्षेत्र अधिक होता है, वहाँ समविभव पृष्ठ आपस में पास-पास होते हैं।
दो समविभव पृष्ठ कभी एक-दूसरे को नहीं काटते।

उदाहरण

बिंदु आवेश → समविभव पृष्ठ गोलाकार गोले होते हैं
समान विद्युत क्षेत्र → समविभव पृष्ठ समानांतर समतल होते हैं

Equipotential Surface

Definition:
A surface on which the electric potential is the same at every point is called an equipotential surface.

Key Properties:

No work is done when moving a charge along an equipotential surface: W = 0
The electric field is always perpendicular to the equipotential surface
Where the electric field is stronger, the equipotential surfaces are closer
Two equipotential surfaces never intersect

Examples:

Point charge → Equipotential surfaces are concentric spheres
Uniform electric field → Equipotential surfaces are parallel planes

विद्युत क्षेत्र और विभव में सम्बन्ध

एक आयाम में

E = − dV/dx

अर्थात जहाँ विभव तेजी से घटेगा, वहाँ विद्युत क्षेत्र अधिक होगा।

सदिश रूप में

E = − ∇V

Relation Between Electric Field and Potential

In one dimension:

E = − dV/dx

This means where the potential decreases rapidly, the electric field is stronger.

Vector form:

E = − ∇V

आवेशित गोलीय खोल (Spherical Shell) का विभव

त्रिज्या = R, आवेश = Q

बाहर (r > R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)

अंदर और सतह पर (r ≤ R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / R)

मतलब अंदर विभव स्थिर रहता है।

Potential of a Charged Spherical Shell

Radius = R, charge = Q

Outside (r > R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)
On surface & inside (r ≤ R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / R)
The potential inside is constant.

आवेशित अचालक ठोस गोले का विभव (Non-conducting Sphere)

आवेश पूरे आयतन में समान रूप से फैला हो।

बाहर (r ≥ R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)

अंदर (r < R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / 2R) × (3 − r² / R²)

Potential of a Non-conducting Solid Sphere

Charge is uniformly distributed throughout the volume.

Outside (r ≥ R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)
Inside (r < R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / 2R) × (3 − r² / R²)

आवेशित चालक गोले का विभव (Conducting Sphere)

क्योंकि आवेश केवल सतह पर रहता है:

बाहर (r > R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)

सतह और अंदर (r ≤ R)
V = (1 / 4πε₀) × (Q / R)

इसलिए चालक गोले के अंदर विभव सर्वत्र समान होता है।

Potential of a Conducting Sphere

Since the charge resides only on the surface:

Outside (r > R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / r)
On surface & inside (r ≤ R): V = (1 / 4πε₀) × (Q / R)
Inside a conductor, the potential is uniform.

आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा

दो बिंदु आवेशों के लिए

U = (1 / 4πε₀) × (q₁ q₂ / r)

अनेक आवेश

हर जोड़ी (pair) के बीच ऊर्जा निकालकर सबका योग करते हैं।

Electrostatic Potential Energy of a System of Charges

For two point charges q₁ and q₂ separated by distance r:

U = (1 / 4πε₀) × (q₁ q₂ / r)

For many charges, calculate the energy for every pair and take the sum.

विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव के घूर्णन में किया गया कार्य

यदि द्विध्रुव को θ₁ से θ₂ तक घुमाया जाए, तो

W = pE (cosθ₁ − cosθ₂)

Work Done in Rotating a Dipole in an Electric Field

If a dipole is rotated from angle θ₁ to θ₂: